一.概念描述
现代数学:一组对边平行而另一组对边不平行的凸四边形称为梯形,它是特殊的四边形之一。
小学数学:只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
二.概念解读
梯形是从哪里起源的呢?我国古算书中称梯形田为邪田,因此梯形图形也称邪田。
梯形在生活中的原型是什么?生活中的梯子、水渠的横截面、汽车的前挡风玻璃、跳箱的侧面等都是梯形的。
梯形有哪些特性呢?如下图:
四边形ABCD中,若AD∥BC,AB与CD不平行,则四边形ABCD是梯形。平行的两边AD、BC叫作梯形的底边,它们必不相等。其中长边BC叫下底,短边AD叫上底;也可以单纯地认为上面的一条叫上底,下面一条叫下底。不平行的两边AB、CD分别称为梯形的腰;上底与腰的夹角称为上底角,下底与腰的夹角称为下底角,并统称为梯形的底角。两底之间的距离称为梯形的高。梯形两腰中点的连线称为梯形的中位线,梯形的中位线平行于底边,并通过两对角线中点,且等于两底之和的一半。梯形两对角线的中点连线平行于底边,且等于两底之差的一半。
梯形的本质特征是只有一组对边平行的四边形,可分为一般梯形和特殊梯形。特殊梯形包括等腰梯形和直角梯形。其中,两腰相等的梯形叫等腰梯形;有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
三.教学建议
认识梯形的基础和困难是什么?学生存学习梯形之前已经认识了长方形、正方形、平行四边形的特征,知道了平行、相交与垂直,还能动手在点子图或方格纸上画长方形、正方形和平行四边形,并且会画平行线和垂线。这些为学习梯形奠定了知识、技能基础。梯形虽然是学生初次接触,但在实际牛活中,学生都接触过梯形原型,有一定的生活经验,只是很难准确地抽象出它的本质属性。另外,对于梯形的高的理解和作法上存在一定的难度。
怎样引导学生去认识梯形、发现它的特征呢?老师利用点子图研究图形的特征,收到了很好的效果。①回忆已经认识了哪些四边形,并在点子图出几个不一样的四边形。点子图不仅便于学生比较准确地画图,还利于学生发现不同四边形的特点,因力它能把平面图形的点、线、面联系起来,促使学生快速发现边和角的特征。②在分类比较中认识特殊的梯形。在学生画出的不同的四边形中找出梯形。如果学生作品中没有出现梯形,老师可以做一些适当补充,让学生去判断辨别,最终发现等腰梯形和直角梯形的特性。③分析量的变化(边的长短、角的大小)如何影响图形的变化。老师提出问题:四根长度相等的小棒能围成什么图形?(正方形或菱形)然后把四根小棒分成两组,每组两根长度相等、两组之间长度不等,问:这样的四根小棒能围成什么图形?(平行四边形、长方形)老师接着问:把其中一根换成短一点的,又可以围成什么图形呢?(等腰梯形、直角梯形)小棒的出现使图形的认识不再局限于单一的形,量的变化能引起形的变化,小棒把数与形紧密联系起来,利于学生多角度把握知识。④总结梳理串成线,形成网。老师进行总结性提问:任意四边形改变什么条件就能变成梯形?改变梯形的什么条件就能成为平行四边形?平行四边形又如何转变成长方形、正方形?在此基础上,老师引导学生梳理出关系网(如下图)。